قانون گاوس
در فیزیک قانون گاوس با نام قضیه شار گاوس هم شناخته شده که قانونی است در ارتباط با توزیع بار الکتریکی که پیامد آن میدان الکتریکی است قانون گاوس توضیح میدهد که : شار الکتریکی خروجی از هر سطح محصور متناسب است با بار خالص داخل سطح این قانون توسط کارل فردریک گاوس در سال 1835 فرمولبندی شد ولی در سال 1867 منتشر گشت. این قانون یکی از چهار معادله ماکسول است که اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل می دهند، سه تای دیگر عبارت اند از:قانون گاوس برای مغناطیس، قانون القاء فارادی، و قانون آمپر به تصحیح ماکسول. از قانون گاوس می توان برای استخراج قانون کولن استفاده کرد و بالعکس. قانون گاوس معمولاً به فرم انتگرالی زیر بیان می شود:
که در آن سمت چپ تساوی انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان می کند، و سمت راست تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.
قانون گاوس همچنین فرم دیفرانسیلی به شکل زیر دارد:
که در آن E · ∇ دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط می شوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را می توان به دو فرم دیگر بیان کرد: از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل، یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس تشابه ریاضیاتی زیادی با تعدادی از قوانین فیزیک در سایر زمینهها دارد، مثل قانون گاوس در مغناطیس و قانون گاوس در جاذبه. در واقع، هر " قانون مربع معکوس" را می توان به شکل مشابهی با قانون گاوس فرمولبندی کرد: برای مثال، خود قانون گاوس خود اساسا برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساسا با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است.
[ویرایش] از دیدگاه بار کل
[ویرایش] فرم انتگرالی
برای حجم V با سطح S ، قانون گاوس بیان میکند که
که ΦE,S شار الکتریکی در S است، Q بار کل در حجم V است، و ε0 ثابت الکتریکی است. شار الکتریکی از انتگرال گیری روی سطح S بدست می آید:
که E میدان الکتریکی است و dA نشانگر برداری از المان بی نهایت کوچک سطح میباشد و ( . ) به عنوان ضرب داخلی برداری به کار می رود.
[ویرایش] به کارگیری فرم انتگرالی
اگر میدان الکتریکی همه جا معلوم باشد، قانون گاوس کار را خیلی راحتتر می کند، در اصل، برای یافتن توزیع بار الکتریکی: باری را که در هر ناحیه داده شده می تواند با یکپارچگی میدان الکتریکی و یافتن شار استنباط کرد. با این حال، بیشتر اوقات، این مشکل معکوسی است که باید حل شود: یعنی توزیع بار الکتریکی معلوم است، و میدان الکتریکی باید محاسبه شود. این خیلی مشکل تر است، زمانی که شما شار کل عبوری از سطح را می دانید، که این تقریبا هیچ اطلاعاتی در مورد میدان الکتریکی نمی دهد، که خود می تواند از روی الگوی پیچیده ای خودسرانه وارد و خارج سطح شود.
[ویرایش] فرم دیفرانسیلی
شکل دیفرانسیلی، قانون گاوس بیان می دارد که:
که · ∇نشان دهنده واگرایی یا همان دیورژانس، E میدان الکتریکی، و ρ چگالی بار کل است، و ε0 ثابت الکتریکی است. این معادله از لحاظ ریاضی بنا به قضیه دیورژانس با فرم انتگرالی معادل است.
[ویرایش] هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی
فرمهای دیفرانسیلی و انتگرالی از دیدگاه ریاضی معادل اند، از طریق قضیه دیورژانس. به بیان دقیق تر: فرم انتگرالی قانون گاوس به این صورت است که :
برای هر سطح بسته S که بار Q را در بر می گیرد. با قضیه دیورژانس، این معادله برابر است با:
برای هر حجم V که بار Q را در بر می گیرد. با توجه به ارتباط بین بار الکتریکی و چگالی بار، این تساوی معادل است با:
برای هر حجم V . برای این که این معادله به طور همزمان برای هر حجم ممکن V برقرار باشد، این شرط لازم و کافی است که معادلات زیر انتگرال برابر باشند. بنابراین، این تساوی معادل است با
پس معادلات دیفرانسیل و انتگرال معادل هستند.
[ویرایش] از دیدگاه بار آزاد
[ویرایش] بار آزاد در مقابل بار مقید
بار الکتریکی که در سادهترین موقعیتهای کتاب درسی بیان میشود در میان بار الکتریکی آزاد طبقه بندی می شود، برای مثال، باری که در الکترواستاتیک جابجا می شود، یا باری که روی صفحههای خازن ذخیره می شوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان میشود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.( تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار می گیرند، الکترونها در قید اتمهای خود می مانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود می دهند، بنابر این الکترونهای یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم می شود. همه این جابجاییهای میکروسکوپیک جمع می شوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساسا یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است،که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.
[ویرایش] فرم انتگرالی
این فرمولبندی از قانون گاوس بیان می دارد که، برای هر حجمV در فضا، با سطح S ، رابطه زیر برقرار است:
که ΦD,S شار جابجایی میدان الکتریکی D از سطح S ، و 'Qfree بار آزادی است که در حجم V قرار دارد. شار ΦD,S مشابه شار میدان الکتریکی ΦE,S که شار E از سطح S است تعریف شده. به ویژه که آن از انتگرال سطح بدست می آید
[ویرایش] فرم دیفرانسیلی
فرم دیفرانسیلی قانون گاوس، که فقط شامل بارهای آزاد می شود، بیان می دارد:
که D · ∇ دیورژانس جابجایی میدان الکتریکی است، و ρfree چگالی بار آزاد می باشد. فرم دیفرانسیلی و فرم انتگرالی از لحاظ ریاضیاتی معادل اند.
[ویرایش] بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد
[ویرایش] در مواد خطی
در مواد همگن، ایزوتروپیک، ناپاشنده خطی یک ارتباط ساده و زیبا بین E و D هست:
که ε ضریب گذر دهی الکتریکی ماده است. تحت این شرایط هنوز یک جفت از فرمولهای قانون گاوس باقی است:
[ویرایش] ارتباط با قانون کولن
[ویرایش] استخراج قانون گاوس از قانون کولن
قانون گاوس می تواند از قانون کولن استخراج شود،قانون کولن بیان می دارد که میدان الکتریکی حاصل از بار ثابت است:
که :er بردار یکه شعاعی است، r شعاع است،:ε0 هم ثابت الکتریکی است، q بار ذره است، که فرض شده در مبدا قرار دارد.
با استفاده از این بیان قانون کولن، ما میدان کل را در فاصله r با استفاده از انتگرال گیری برای جمع تمام میدانها در r از بارهای بی نهایت خورد در فضای s را داریم:
اگر ما از هر دو طرف تساوی دیورژانس بر حسب r بگیریم داریم
که (δ(s تابع دلتای دیراک است، حاصل به شکل زیر بدست می دهد:
با استفاده از خاصیت غربالگری تابع دلتای دیراک می رسیم به :
که همان فرم دیفرانسیلی قانون گاوس هست، درست همان طور که انتظار داشتیم.
[ویرایش] استخراج قانون کولن از قانون گاوس
به صرف گفتار، قانون کولن را نمی توان از قانون گاوس استخراج کرد چون قانون گاوس هیچ اطلاعاتی در مورد کرل یا تاو E نمی دهد. با این وجود، قانون کولن می تواند از قانون گاوس اثبات شود، بعلاوه، میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه ای به شکل کروی متقارن است( این فرض مثل خود قانون کولن است، که وقتی بار ثابت است دقیقا صحت دارد، و وقتی بار در حرکت باشد تقریبا درست است ).
قرار دادن S در فرم انتگرالی قانون گاوس سطح کره ای به دست می دهد به شعاع r، که بار نقطه ای Q در مرکز قرار دارد:
با فرض تقارن کروی، حاصل انتگرال مقدار ثابتی میشود که می توان از زیر انتگرال خارج کرد، و نتیجه می دهد:
که
بردار یکه شعاعی است که سمت بار نقطه ای را که در فاصله r هست نشان می دهد، دوباره با استفاده از تقارن کروی، E در راستای شعاعی را به دست می دهد:
که اساسا معادل قانون کولن می باشد.
منبع: http://fa.wikipedia.org

































